2. Ағыс теңдеулері

2.1 Қалыптасқан ағыс. Гидростатика. Иірімсіз ағыс

2.2 Идеал сұйықтық. Бернулли теңдеуі. Циркуляция. Потенциалдық ағыс. Жазық потенциалдық ағыс

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

2.2 Идеал сұйықтық. Бернулли теңдеуі. Циркуляция. Потенциалдық ағыс. Жазық потенциалдық ағыс

Егер тұтқырлық коэффициенттері  және  нөлге тең болса, онда сұйықтық тұтқыр емес немесе идеал сұйықтық деп аталады. Ал (4.22) Навье-Стокс-Дюгема теңдеуі

     немесе            (4.36)

түрінде болады және Эйлер теңдеуі деп аталады. Потенциальдық массалық күштері бар баротропты сұйықтықтар үшін, (7.29) және (7.30) шарттарын (7.36)теңдеуіне келтіруге болады. Онда

     немесе     .  (4.37)

Қалыптасқан қозғалыс үшін (4.37) теңдеу келесі түрде болады:

     немесе     .            (4.38)

Егер (4.37) Эйлер теңдеуін тоқ сызығының бойымен интегралдайтын болсақ, онда

              (4.39)

түріндегі Бернулли теңдеуі шығады.

Қалыптасқан қозғалыс үшін  және  шамасы әртүрлі тоқ сызықтары үшін әртүрлі болатын Бернулли тұрақтысы С-ға айналады. Сонымен қоса, егер ағыс иірімсіз болса, онда барлық ағыс өрісінде С тұрақтысы бірдей болады.

Айталық, массалық күштерден тек ауырлық күші әсер етсін. Онда , мұндағы – еркін түсу үдеуі,  – бірқатар деңгейден бастап саналатын биіктік.  – шамасы қысым арының сипаттайды, ал  – жылдамдық арыны. Бернулли теңдеуі тоқ сызығының бойындағы толық арынның тұрақты болуын талап етеді. Сығылмайтын сұйытықтар үшін бұл теңдеу келесі түрде болады:

.                    (4.40)

Анықтама бойынша тұйық сұйық сызықтағы жылдамдық циркуляциясы деп

     немесе     ,              (4.41)

(4.41) сызықтық интегралын айтамыз.

Стокс теоремасы бойынша (4.41) сызықтық интегралын беттік интегралға айналдыруға болады:

     немесе          (4.42)

мұндағы  – берілген сызыққа тартылған  бетінің нормалының бірлік векторы. Егер ағыс иірімсіз болса, онда  және . Бұл жағдайда (4.41) формуласындағы интеграл астындағы өрнек  функциясының толық дифференциалы деп аталады, ал  функциясы жылдамдық потенциалы болады.

Циркуляцияның материалдық туындысы – ны пайдаланып келесі түрде анықтаймыз:

    немесе    .  (4.43)

Циркуляцияның тұрақтылығы туралы Кельвиннің теоремасы былай дейді: потенциальдық массалық күштері бар баротропты тұтқыр емес сұйықтықтарда циркуляция тұрақты болады.

 өрнегі ағыстың потенциалдық шарты. Сонда жылдамдықтың потенциалы , бар болады. Белгілі бір шарттар жағдайында сығылмайтың сұйықтықтың құйынсыз қозғалысы үшін Эйлер теңдеуі және үзіліссіздік теңдеуі линеарланады да келесі теңдеуге келеді:

     немесе     ,                  (4.44)

мұндағы с – ортадағы дыбыс жылдамдығы.

Сығылатын баротропты сұйықтықтардың қалыптасқан ағыс жағдайында Эйлер теңдеуі және үзіліссіздік теңдеуін түрлендіріп келесі түрге келтіреміз:

    немесе    .            (4.45)

(4.45) Бұл газ динамикасының теңдеуі.

Сығылмайтың сұйықтықтың потенциалдық ағысы үшін үзіліссіздік теңдеуі Лаплас теңдеуіне келтіріледі.

     немесе     .             (4.46)

(4.46) теңдеу нақты шекаралық шарттармен  толықтырылуы керек. Есеп сызықтық болғандықтан оның шешімдеріне суперпозиция принципін қолдануға болады.

 жазықтығына паралель сығылмайтын сұйықтықтың екі өлшемді ағынында  және үзіліссіздік теңдеуі

     немесе                                        (4.47)

түрінде болады.

                                      (4.48)

болатын  тоқ функциясын еңгізейік.

Егер жазық ағыс иірімсіз, яғни

     немесе                          (4.49)

болса, онда тоқ функциясы және жылдамдық потенциалы

      және                                          (4.50)

түріндегі Коши-Риман шартын қанағаттандырады.

(4.50) теңдеуден  және -ді кезегімен шығара отырып

     немесе     ,                                   (4.51)

     немесе     ,                                 (4.52)

болатының көрсету қиын емес. Сонымен егер ағыс иірімсіз болса, онда  және  функцияларының екеуі де гармоникалық функция болады. Онда

                         (4.53)

болатын

                  (4.54)

функциясын еңгізуге болады.